炒股小赚落袋为安，亏损却不为所动。

 

基金大跌，“不卖就不亏”，这是来自“韭零后”的基金买卖“名言”。

 

 

这正是行为金融学中的一个著名现象——处置效应。学术界对处置效应的一个重要理论解释便是前景理论。前景理论（Prospect Theory）由心理学家 Daniel Kahneman 和 Amos Tversky 提出，是描述一个人如何在不确定情况下做决策的分析框架。前景理论研究的问题是当面对多个选项时，人如何评估不同的选项并选出他认为最优的。

 

如果给你以下两个选择，你会选择哪一个？

➢ 50%的概率赢100元，50%的概率不赚钱

➢ 100%的概率可以获得50元

 

也许你有了答案，好像不如稳妥点选择第二个。

 

那么如果反过来，你会如何选择呢？

➢ 50%的概率输100元，50%的概率不输钱

➢ 100%的概率会失去50元

 

这时，你可能会想，要不要碰碰运气，去赌一把。

 

在面对风险时，人们有可能表现为一个风险厌恶者，但面对损失时，则有可能成为一个风险偏好者。

 

经典的资本资产定价模型（CAPM）指出资产的期望收益率由其对市场风险的暴露决定。

 

诺贝尔经济学奖获得者Fama这样评价CAPM理论，“The arrival of the CAPM was like the time after a thunderstorm, when the air suddenly clears”（CAPM到来，恰似雷雨过后，天朗气清）。然而CAPM理论提出后，学界业界经过几十年的蓬勃发展，却发现了成百上千难以被CAPM理论解释的异象（Anomaly）。

 

在均值-方差效用函数下，市场最终会走向CAPM描绘的世界。但按照前景理论的观点去评价风险，市场将会怎样，却悬而未决。

 

来自耶鲁大学的Nicholas Barberis，加州理工大学的Lawrence J. Jin以及弗罗里达大学的Baolian Wang于2021年6月在国际金融学顶级期刊《The Journal of Finance》发表文章“Prospect Theory and Stock Market Anomalies”，填补了这一空白。文章结合前景理论、狭隘框架提出了一个新的资产定价模型，并用于解释市场中著名的市场异象。

 

文章发现，基于实证中估计的资产收益波动、偏度以及过去资本损益，新的理论框架可以很好地解释23个异象中的14个异象。

 

文章于2020年5月投稿，2021年1月接受，2021年6月正式刊发。

 

1

研究背景

 

1

累积前景理论

 

前景理论由Kahneman and Tversky (1979) 提出，并于Kahneman and Tversky (1992) 中得到改进为累积前景理论（下简称前景理论），其原理如下。

 

考虑一个赌博，它的收益以及概率分布为：

 

其中x_-m代表收益，p_-m为发生的概率。下标的符号即是收益的符号。比如之前提到的赌博(-$100, 0.5, $110, 0.5) 就是以0.5的概率得到110美金或者以0.5的概率输掉100美金。在期望效用框架下，人们在赌博中的期望效用为：

 

其中W代表当期的财富。这是一个概率加权的期望效用。

 

而在前景理论中，人们更关注损失和盈利，而非财富水平。假设人们会在赌博中得到：

 

其中：

 

v( . )与w( . )分别被称作价值函数以及概率权重函数。Kahneman and Tversky (1992)给出了函数形式：

 

2

对前景理论中函数性质的理解

 

 

函数性质：𝜆>1：损失厌恶函数，越高越厌恶损失。在0点出现折点。函数在大于0时为凹函数，小于0时为凸函数。𝛼∈（0,1）：𝛼越大，凹凸程度越大，衡量了敏感递减的快慢。

 

经济含义：使用价值函数告诉我们投资者仅关注投资赚钱还是赔钱，而非当前财富。同时这个函数保证了投资者更加厌恶损失，但敏感程度都会递减。在收益为正时，人们风险厌恶，但收益为负时却是风险偏好。

 

 

函数性质：累积概率带来的差值。计算不差于x_i的权重以及严格优于x_i的权重的差值。

 

经济含义：相对原始的前景理论^[注释1]。1）满足一阶随机占优；2）适用于任何有限前景；3）允许收入与损失有不同的权重；4）同时使用风险决策和不确定决策。

 

 

函数性质：𝛿=1可以退化为原始的线性关系，当𝛿<1时，值越小，意味着在小概率时W(P)>P。

 

经济含义：人们倾向于高估尾部风险发生的概率：老王们喜欢买彩票，老张们喜欢买保险（注意一般彩票公司和保险公司还是赚钱的），他们都是无意间使用了这个复杂函数的大好青年。

 

 

2

研究模型

 

资产有三个关键特征：资产收益的波动、峰度以及投资者持仓的账面收益（或亏损）。

 

由于损失厌恶，对于波动高的股票，投资者会要求更高的期望收益率；而对于偏度更高的股票，由于有更大的可能获得较大收益，投资者会偏好这类资产，导致当前价格推高，未来期望收益率降低，因此偏度越高，期望收益率越低。

 

对于账面盈利的股票，由于急于落袋为安，因此会有较大的卖压，导致当前价格偏低。而账面亏损的，投资者却倾向继续持有，未来期望收益率更低。因此账面盈亏和期望收益率成正相关。我们需要将这些性质通过模型表达出来。

 

假设一个经济体有三期：t=-1, 0 , 1。投资者在0期做决策。模型的设定如下图所示：

 

 

投资者偏好函数的前两项是传统的期望-方差效用函数，后面一部分体现了前景理论以及狭隘框架部分，b体现了这部分偏差的权重。A仅仅将每个资产带来的价值简单加和，而非作为组合考量，体现了狭隘框架。

 

W₀Θ_i(R˜_i-R_f)即是投资的损益，而W_-1Θ_i,-1g_i则是在0时刻前投资者的资产损益。投资者会同时考虑期望未来的损益和之前资产的损益。为了简单起见，认为对于所有投资者g_i是相同的，在估计时也采用资产所有持有者的平均损益。

 

同时，假设Θ_i,-1等于市场组合的权重。因此总体上，这项是外生的，并简化W_-1≈W₀。投资者只需要决定0时刻的资产配置Θ₁,...,Θ_N。

 

由于文章一个关注的重点涉及到投资者对于偏度的喜好。因此文章对收益率使用了具有尖峰厚尾特点的GH(generalized hyperbolic skewed t)分布。

 

这个分布有四个关键参数：

➢ 𝜇_i期望主要控制收益率水平。

➢ S_i主要控制收益率的离散程度

➢ ζ_i主要控制收益率的峰度

➢ 𝜐主要控制尾部概率的厚度

 

后三个参数可以使用数据中的数据进行估计，而𝜇_i是需要校准的参数，用于让市场出清。换言之，有了𝜇_i就可以得到收益率的矩（上图已给出公式），进而得到优化后的Θ，Θ^*即Θ^*（𝜇）。

 

3

实 证

 

CAPM模型告诉我们，一个资产的期望收益率取决于对市场风险的暴露。然而，学术界以及业界在过去的几十年中发掘了至少几百个异象，即不能用CAPM解释的异常收益率。

 

文章选取了23个著名的异象，包括Stambaugh, Yu and Yuan (2012) 中的10个异象，Mclean and Pontiff (2016) 中的12个异象以及一个审稿人建议的异象。这23个异象分别如下：

 

 

首先，文章考虑一个含有1000个股票的经济体，按照每个异象的特征从低到高将这1000个股票分成10组。

 

在组内的股票有相同的特征。在组内随机抽取一支股票，并按照模型计算它的期望收益率，代表组合的期望收益率。这样就可以比较第10组和第1组组合的收益率之差，也就是我们常见的异象的表现形式。

 

从之前的（20）式可见，模型求解需要知道𝝈_i, ζ_i, g_i, 𝛃_i，因此需要知道每一个组内的收益率的方差，偏度，账面盈亏以及beta值。这些都是可以用数据计算的。

 

以账面市值比(Book to Market BM)为例，从1963年至2014年12月，NYSE, NASDAQ, Amex的股票会按照BM从低到高分成10组。

 

使用未来一年的日度数据估计组内股票的beta并平均，使用Grinblatt and Han (2005)^[注释2]的方法估计股票的盈亏。

 

使用未来一年的股票收益计算组合横截面的波动以及偏度。

 

这样的方法有两个目的：

1. 使用未来的数值估计，还原一个向前看的投资者的视角。

2. 使用100个年度收益计算截面的波动以及偏度，体现了投资者在投资时将同类股票放在一起找能够获得更大尾部收益的股票的决策过程。同时也避免了先时间序列估计再平均对于收益率自相关的额外假设。

 

估计结果如下：

 

 

 

表中可以发现第10组和第1组之间各种特征差异还是比较明显的。

 

除此之外从图2中可以看到标准差、偏度以及账面盈亏之间存在着很强的相关关系。标准差和偏度正相关，这两项均与账面盈亏负相关。

 

我们之前已经介绍过这三个指标对应期望收益率的关系：

➢ 高波动，高期望收益率

➢ 高偏度，低期望收益率

➢ 高账面盈利，高期望收益。

 

这样来看波动和偏度对于期望收益率的作用方向会经常相反，两个打架的指标谁更胜一筹则需要（这篇论文的）模型进行量化。模型的成功与否也就取决于输入这些参数后模型是否可以准确的预测这些异象的收益率。

 

文章提出了判别标准：如果模型10-1组的alpha和实际数据符号相同，且模型的alpha显著性在0.015水平以内则认为可以解释异象。如果符号相反且显著，则认为不能解释异象。

 

略去参数选取以及模型估计的部分，结果如下：

 

 

 

 

从上面的图中可以发现，在模型表现好的异象中，模型不仅捕捉到了第10组和第1组的差异，甚至连单调性和中间组也可以很好的预测。

 

同时，文章还指出，前人研究已经指出了不同的概率权重导致出现异质波动率异象、异质偏度异象等的机制，但这并不完全，波动以及账面亏损也对异象的行成有贡献。以往文献多侧重一个机制的作用，但这里，异象的结果是多种机制的合力。

 

当然也有一些异象是文章解释的不好的，如价值，小市值，反转效应等。一个可能的因素是价值、投资、长期反转、应计异象、资产增速异象这些异常收益率很大程度上来自盈利公告前后的日期。此时是投资者对未来前景信念的纠正驱动这些异象的产生。

 

因此或许我们可以把异象分成“偏好基础”的异象（由前景理论捕捉到的风险态度）和“信念基础”异象（由信念纠正导致的）。信念出现偏差也会造成这些异象。

 

文章还发现，模型解释好的异象，相对于模型解释不好的异象，在相关论文发表后，样本外的表现更佳。一个可能的解释就是这些异象是具有根植于前景理论的理论基础的，因此样本外更加稳健。

 

文章还比较了本文的模型以及常用的CAPM、Fama-French 三因子、五因子、六因子（五因子+动量）、Carhart 四因子模型的定价偏误。

 

从下表中可见，在对多空组合的定价解释上，本文提出的模型与四因子比较接近。而这些因子模型建立在已知很多异象的情形下，寻找能够解释异象的因素。而本文的模型则是从理论出发得到的。作者们认为这十分“striking”。

 

 

此外，文章还比较了损失厌恶、敏感递减、加权概率、考虑账面损益对于模型结果的贡献。实际上这些因素以及狭隘框架的贡献都比较大，去掉某一种都会导致可解释的异象降低。此外内生投资者原始头寸以及换成Novy-Mark and Velikov (2016) 的异象，都可以得到类似的结果。

 

4

结 论

文章以前景理论为核心，搭建了一个新的资产定价模型。通过这个模型，可以融合标准的均值方差效用函数外，诸多投资者的行为特征：损失厌恶、在意得失（过去与未来）、重视小概率事件、狭隘框架。模型给出了定量的预测，文章使用模型解释了23个著名股票市场异象中的14个。

 

纵观整篇文章，复杂的公式、艰难的求解，巧妙的证明，都在显示这是一篇立意高、技术性强的学术论文。但仔细想来，文中大部分的设定又是来自已有的文献，踩着前人研究铺就的阶梯，迈出了关键的一步。

 

文章最后在总结部分也提到，这篇文章的发表证明了行为金融模型可以定量地解释很多市场异象，并希望未来可以见到相关领域更多的研究。

 

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[注释1].  详情可见, Tversky, Amos, and Daniel Kahneman, 1992, Advances in prospect theory: Cumulative representation of uncertainty, Journal of Risk and Uncertainty 5, 297–323.

[注释2]. 使用过去的交易量加权计算，详细见，Grinblatt, Mark, and Bin Han, 2005, Prospect theory, mental accounting, and momentum, Journal of Financial Economics 78, 311–339. 公式为：