“对于某风险因子，投资者应就其对该因子的暴露程度为基础获得回报补偿”，这是资产定价模型对投资者回报做出的核心预测之一。

 

当这些所谓因子是“可交易的”，即能以投资组合形式进行时，这一预测是非常容易检验的，因为恰当投资组合的超额收益即是所模拟风险因子的超额回报。但是对于某些“不可交易”的风险因子，比如消费、通胀、流动性等，就不能以投资组合的形式得到。

 

而正是因为这些因子的存在，通常使用的两阶段回归方法、投资组合映射方法等估计方法就会产生偏误。因为这些因子不可观测但又真实存在，所以一般的模型中都将其看做“省略因子”。

 

那么如何保证估计程序在有省略因子这一场景下的正确估计呢？或者说，如何修正现在常用的两阶段回归方法，从而避免省略因子带来的影响呢？

 

来自耶鲁大学的Stefano Giglio教授与芝加哥大学的修大成教授于2021年7月在国际金融学顶级期刊《Journal of Political Economy》发表论文“Asset Pricing with Omitted Factors”。

 

Stefano Giglio

耶鲁大学教授，NBER研究助理，CEPR助理研究员

 

 

修大成

芝加哥大学布斯商学院计量经济学和统计学教授，清华大学五道口金融学院特聘教授，上海交通大学上海高级金融学院特聘教授

 

 

文章从线性模型数学推导出发，在传统的两阶段回归估计方法之前使用PCA对原数据进行预处理，从而避免了省略因子带来的偏误。

 

文章发现，对于传统因子分析中常出现的可交易因子，三阶段估计方法与传统估计方法差别不大；对于不可交易因子的风险溢价估计来说，不可交易因子对资产定价有显著的经济意义与统计意义。

 

Part 1

三阶段回归方法

 

三阶段回归方法是从线性因子模型中普遍存在的简单性质引出的——旋转不变性。假设真实收益是依赖于p个因子的，而研究者需要确定其中某一个的风险溢价gt。所谓的旋转不变性，是指无论剩下的p-1个因子如何组合旋转，只要这种操作构成的新因子与原来的因子张成同一空间（同秩），就都不会造成gt发生改变。

 

这种性质说明，如果我们关心某一特殊因子的风险溢价，我们并不用知道剩余所有因子的信息，只需要知道原所有因子张成空间的一个同秩表示即可。

 

通过之前的分析，作者提出三阶段估计程序。

 

第一阶段，作者使用PCA（主成分分析）提取资产回报面板数据中的主成分，也就找到了完整因子空间的一个低维表示（也即上文提到的p个因子的任一旋转）。

 

第二阶段，作者使用上一节得到的主成分进行截面回归，以寻找他们的超额收益。

 

第三阶段，作者在上一节得到的超额收益与主成分之间进行时间序列回归。

 

最终g_t的风险溢价就由主成分对的g_t载荷与风险溢价之积估计得到。

 

考虑一个常见的线性p因子模型：

 

r_t=𝛃𝛄+𝛃v_t+u_t

 

其中，v_t为p因子的新息，即零均值因子，u_t是异质性偏误，𝛃是因子载荷，𝛄是对应因子的风险溢价。本文的目标是在对v_t不完全可知的情形下估计某因子的风险溢价，为此，作者进一步引入一个更加普通的设定。

 

令g_t为d个可观测因子集的风险溢价，g_t与v_t存在如下关系：

 

g_t=𝛅+𝛈v_t+z_t

其中𝛈捕捉了g_t和不可观测因子v_t的关系，而我们估计的重点——g_t的风险溢价就被定义为一个𝛃_gt=1且𝛃_other=0的投资组合期望超额收益，在上面的模型中，也就是𝛄_gt=𝛈𝛄。

 

从上面的模型可以看出，如果v_t是不可观测的，那么𝛈与𝛄就都难以识别。所以问题的关键转换为，在什么条件下，可以不依赖𝛈和𝛄单独的信息直接识别𝛈𝛄。

 

寻找这一条件，就需要之前提到的旋转不变性，在这一条件下，如果只观测到部分因子v^*_t=Hv_t（要求H满秩），那么在这一情况下的𝛈𝛄可以直接得到，而不需要知道v_t或者H。

 

为了展现这一步骤，作者将之前的模型整理为：

 

r_t=𝛃H^-1H𝛄+𝛃H^-1Hv_t+u_t

 

g_t=𝛅+𝛈H^-1Hv_t+z_t

 

可以看到，H^-1H等于单位阵，这表示模型实际与之前并没有差别。

接下来，定义𝛈^*=𝛈H^-1，𝛄^*=H𝛄，𝛃^*=𝛃H^-1

 

则模型可以进一步改写为：

 

r_t=𝛃^*𝛄^*+𝛃^*v^*_t+u_t

 

g_t=𝛅+𝛈^*v^*_t+z_t

 

这样一来，无需观测到v_t，只需要观测v_t的组合：v^*_t=Hv_t就可以识别𝛈^*与𝛄^*。

 

从而得到：𝛈^*𝛄^*=𝛈H^-1H𝛄=𝛈𝛄=𝛄g_t。

 

综上，作者已经提出了一个在省略因子存在时也能够有效的估计程序，现在的问题是，如何才能够得到原因子的组合v^*_t=Hv_t呢。在现存的关于隐因子的研究中（比如Bai 2003），已经提出，PCA（主成分分析）能够生成与原因子空间同样的新因子空间。所以作者参考PCA方法，对整个资产超额收益面板数据进行分解，从而构造出与原因子空间同秩的新因子空间。

 

最后，作者将整个三阶段估计方法的三个步骤整理如下：

 

第一步：对整个市场中的超额收益率数据矩阵R实行PCA（主成分分析），以获得最能够表征原因子空间的主成分，从而得到对因子和载荷的估计。

 

第二步：使用超额收益率数据矩阵R对上一步得到的载荷进行截面回归，获得因子的风险溢价。

 

第三步：用g_t对第一步提取的因子做时间序列回归，获得𝛈与G的估计。

 

Part 2

实证检验

 

完成理论推导之后，作者使用三阶段估计方法估计了可交易与不可交易因子的风险溢价，对比了通过三阶段方法的估计结果与标准两阶段回归的估计结果。

 

首先，作者使用PCA方法，确定因子个数为7个（在此数量下七个因子能够解释59%原面板数据的变异程度）。

 

上表对比了三种不同的估计方法对于同一个因子集中各因子风险溢价的估计结果。表中13和14列展示了三阶段估计方法的估计结果。

 

对于可交易的因子，三阶段方法无论从经济意义上还是统计意义上都相当靠近因子组合的平均超额收益。而其他两种方法的估计结果与组合平均超额收益相差较大。

 

对于不可交易的因子集，三阶段方法估计结果显示它们具有相当显著的经济与统计意义，比如流动性因子、偿债因子、股东消费能力因子等等。

 

总体来说，对于作者研究的可交易因子，三阶段方法产生的结果与这些因素的时间序列平均收益率大体一致；对于不可交易因子，它们产生的估计值具有经济上合理的大小。

 

Part 3

结 论

 

文章提出了一种三阶段估计方法来估计线性资产定价模型中可观察因素的风险溢价。该方法建立在一个简单的旋转不变性上，在这种情况下，即使无法确定风险敞口，可观察因素的风险溢价也会得到一致的估计。

 

作者提出的三阶段估计程序可以看作是标准的两阶段横截面回归方法的扩展，其提供了一种系统的方法来解决省略因子带来的估计偏误，而不是依赖于任意的控制因素或仅对测试资产的子集计算风险溢价，并且该方法利用了高维的测试的高维，可以跨越因子空间。

 

在三阶段估计方法的主要应用中，虽然许多标准宏观经济因素（例如，工业生产和宏观经济系列的PC）似乎具有很小的风险溢价，但是这些因素加入到个体资产定价的因子模型中后，却能带来的强大且显著的风险溢价。因此，文章提出的方法更有助于投资者考虑宏观经济（或其他不可交易）因素进行资产定价。