过去的6个月里，比特币价格暴跌逾50%， 但这种加密货币的持有者已经习惯了波动性。就在2020年底到2021年上半年的时间里，由于收到疫情的影响，散户投资者开押注比特币的上涨。比特币的交易价格，从不足1.2万美元飙升至超过6.3玩美元。

2021年10月，随着交易所交易基金的推出，比特币等加密货币完全成为主流，在ETF开始交易几天后，比特币创下了近6.9万美元的历史新高。

12月初，美国经济对通胀上升引致未来利率上升的担忧，导致比特币价格大幅下跌，在接下来的几个月里，比特币价格随着美国科技股的下跌而下跌。

今年6月中旬，比特币价格再次暴跌，根据CryptoCompare的数据，全球交易最活跃的加密货币比特币在6月18日跌至17628美元，之后反弹。

比特币的快速发展已经成为火爆的话题。但时至今日什么决定了比特币的价格还有很大的争议。

• 一些人认为比特币的价格反映了基本面的因素，比如区块链技术对于安全性的改善；

• 而另一些人则认为比特币是一个“泡沫”，总会破裂。其中，股神巴菲特对比特币向来不看好。

2013年，比特币价格130美金，巴菲特在接受采访时将比特币比喻成“毒老鼠药”。2017年，比特币牛市时价格达到9000多美元，巴菲特依然保持观点，称之为“老鼠药的平方”。

此时，人们都意识到以往的货币模型与资产定价模型在去中心化背景下都不是很适用。因此，要区分比特币的安全性与货币政策两大特点。金融系统需要安全性，在以往中心化的系统中，我们需要找到一个值得信赖的代理人，如央行、政府、或公司等承担这个责任。但在去中心化的世界，系统的安全性取决于互相不存在协作关系的矿工。货币政策则在系统中确定，且与安全性息息相关。

来自帝国理工大学和新加坡管理大学的Emiliano S. Pagnotta于2021年1月在金融学顶级期刊《The Review of Financial Studies》发表论文“Decentralizing Money: Bitcoin Prices and Blockchain Security”，文章从参与比特币系统的角色入手，考察了比特币的使用者、矿工以及破坏者三种参与方。

文章发现，比特币的使用者持有比特币以备未来交易与投机收益。如果比特币的价值较高，则矿工更有动力挖矿，系统安全性更好，价格更有保障；如果比特币价值较低，矿工缺乏动力挖矿，系统安全性不足，价格也没有基础。这种反馈机制也带来了比特币不同于其他资产的特征：我们需要将安全性与价格同时纳入分析框架内。

文章于2020年2月投稿，2020年11月接收，2021年1月正式发表。

1.1 模型背景

（1）安全性

本文简化了交易费用的作用，仅考虑区块奖励作为矿工的收入。

文章将安全性分为以下两种:

• 内源安全性。例如，比特币，这意味着代币安全性与自身的价格相关。

• 外源安全性，即代币的安全性取决于价格外的因素。比如，Libra等，其安全性和币的价格相关不大。

   

（2）货币政策

比特币的货币供给是严格按照设计时的时间表执行的，大约4年会减半一次。在每两个减半时点中间的时间内，由于不断供给上升，而挖币的速率一定，可以认为是轻微下降的货币供给增长率。

（3）网络攻击风险

网络攻击主要有双花问题和破坏系统问题，后者希望破坏比特币系统，比如为了卖空比特币，前者更希望比特币保持价格稳定。因此考虑到对安全性损害的程度，这里主要考虑破坏系统的风险。

1.2 模型设定

首先考察一个简单的静态模型：在t到t+1期，有很多同质的代理人购买一种消耗品，并将消费该商品带来的效用与生产的成本都作为单位1。

𝑝𝑡比特币无内在的价值，供给为B。i可以在t时期以Pt价格购买比特币，在𝑡′时期以f的概率找到商品的卖家，用比特币交换商品。i的真实货币余额为𝑏𝑖𝑡=𝑝𝑡𝐵𝑖𝑡。价值函数V满足𝑉(0)=0，𝑉′(0)=+∞，存在某些𝑏̃ >0,𝑉(𝑏̃ )=𝑏。在t到𝑡′时期内，有破坏者可能破坏比特币系统，破坏成果的概率为1-St，此时比特币价值清零。

在t+1时期，如果攻击失败，则用户可以以Pt+1的价格卖掉比特币。因此用户对未来价格的期望为𝐸𝑡(𝑝(𝑡+1))=𝑆𝑡𝐸1𝑡𝑝(𝑡+1)。假设满足，𝑅≔𝐸1𝑡𝑝(𝑡+1)/(𝑝−𝑡)<1/δ𝑆，δ为时间上的折价，否则对比特币的需求将无限扩大。

给定以上的条件，i将会最大化𝑐𝑖𝑡−𝑙𝑖𝑡+𝐸𝑡(𝑉(𝐵𝑖𝑡𝑝𝑡)+δ𝑐(𝑖𝑡+1))，其中c代表消费，l代表投入生产商品。满足预算约束𝐵𝑖𝑡𝑝𝑡+𝑐𝑖𝑡≤𝑙𝑖𝑡与𝑐(𝑖𝑡+1)≤𝐵𝑖𝑡𝑝(𝑡+1)。考虑期望与交易的可能性后，可以得到最大化问题𝑚𝑎𝑥(𝑏𝑖𝑡≥0)〖𝑆𝑡(𝑓𝑉(𝑏𝑖𝑡)+(1−𝑓)δ𝑏𝑖𝑡𝑅)〗−𝑏𝑖𝑡。

假设有m个矿工参与挖矿，矿工在t时刻决定投入的算力，如果成果挖矿，在t+1时刻得到区块奖励。这里假设每个区块都可以包含足够多的交易信息，交易费用几乎为0。在工作证明竞赛中，j最先挖到矿的概率为𝑃(ℎ𝑗,ℎ(−𝑗))=ℎ𝑗/𝐻，𝐻=ℎ𝑗+ℎ(−𝑗)其中代表总体算力（hashrate）。

挖到矿后，矿工可以得到期望收入ψ𝐸1𝑡𝑝(𝑡+1)，ψ为比特币衡量的区块奖励。则矿工的最优化问题为：𝑚𝑎𝑥┬(ℎ𝑗≥0)𝑃(ℎ𝑗,ℎ(−𝑗))×δψ𝐸1𝑡𝑝(𝑡+1)−𝐶(ℎ𝑗)，𝐶(ℎ𝑗)为挖矿成本函数，满足𝐶″(ℎ𝑗)≥0，𝐶(0)=0。则可以推出引理1：

引理1：在对称的挖矿均衡中，系统的哈希率𝐻⋆=𝑚ℎ⋆，由下式给出：

由此可见，系统的算力随着区块奖励和比特币期望价格单增，系统矿工越多，算力越强。如果𝐶′在h上单调递增，则𝐻⋆单调递减。

破坏者可以通过制造大量分叉来破坏比特币的共识机制，假设完成对比特币的破坏需要挖出k个区块，破坏者的算力为A。那么在系统中，新的区块由破坏者先挖到的概率为α=𝐴/(𝐴+𝐻𝑡)，在二值随机游走的模型下，攻击成功的概率为当α<0.5,(α/(1−α))𝑘=(𝐴/𝐻𝑡)𝑘否则为1。即：

如果同时将价格与安全性考虑在内，在市场出清时𝑛𝐵𝑖𝑡=𝐵，矿工的最有化条件为

如果条件满足，则有命题1。

命题1：对于外部安全性𝑆̅ 。当且仅当𝑉′(0)>1/𝑓(1/𝑆̅ −(1−𝑓)δ𝑅)时，单一均衡存在。对于内源安全性且破坏者的算力A>0。则存在一个人数的门槛值𝑛̂ (𝐴)，如果𝑛>𝑛̂ (𝐴)则一定存在一个一般均衡。通常来说，如果存在一般均衡，则会有可以按照价格-安全性排序的偶数个解。

假设比特币的价格很低，则诚实的矿工们没有动力去投入算力，网络的安全性也就低。这种情况下，投资者也不会想持有大量头寸，导致比特币低估值。这个逻辑反过来讲也是成立的。高价格-矿工挖矿热情高涨-网络安全性高-高需求-高估值。

1.3 动态模型

我们也可以推广到更加一般的动态模型中去。

将无限期分成两阶段，在每个阶段里面有不同的消耗品交易。具体情况如下：

• 第一阶段：无摩擦的市场，被称为中心化市场（CM）。

• 第二阶段：市场有摩擦，被称为去中心化市场（DM）。

所有人都可以消费与生产CM的商品，这种商品也作为定价单位。同时将人们在第二阶段的角色分成两类，一类是卖家，不消费，一类是买家，不生产。这种异质性导致比特币作为交易媒介的需求。买家在DM消费比特币商品时，能够找到提供价格为z的合适卖家的概率为f。所有人是匿名的，因此借贷不可行。

在每个时点t，n个（连续化）存活三期的人们出生。在t时刻出生的买家生命周期的效用函数为𝑐𝑡−𝑙𝑡+𝑢(𝑞𝑡)+δ𝑐(𝑡+1)，c和q分别代表消耗品与比特币商品。老的买家卖出比特币，用比特币的收益来买入CM商品，然后死去。

u和前文提到的V具有相同的函数性质。𝑢(0)=0,𝑢′(0)=+∞。存在某一区间𝑢(𝑏)=𝑏。卖家则不需要在t期积累比特币。遇到买家的卖家可以生产单位成本为1的商品，同时具有线性效用函数，因此生命周期效用为−𝑞𝑡+δ𝑐(𝑡+1)。

在t期出生的买方的跨期期待效用为：

其中受到预算约束𝐵𝑖𝑡+𝑐𝑖𝑡≤𝑙𝑖𝑡，由于不可借贷，在DM市场也会受到限制：𝑧𝑡𝑞𝑖𝑡𝑑≤𝐵𝑖𝑡𝑝𝑡，𝑞𝑖𝑡𝑑是i的需求。有效的交易量为𝑞∗，由𝑢′(𝑞∗)=1 给出。这时买方边际效用等于卖方的边际成本。设这时需要使用b∗的比特币来购买𝑞∗数量的商品。

t时期出生的卖方的价值函数为：

在盈亏平衡点需要δ𝐸1𝑡𝑝(𝑡+1)/𝑝𝑡=1/𝑧𝑡，与生产产品数量无关。假设安全状态序列𝑆𝑡(𝑡≥0)给定，则有引理：

引理2：在t时刻的任意均衡状态下，δ𝐸1𝑡𝑝(𝑡+1)/𝑝𝑡≤1，且𝑝𝑡=δ𝑆𝑡𝐸1𝑡𝑝(𝑡+1)(1+𝑓(𝑢′(𝑞(𝐵𝑑𝑡)−1))+)。如果不等式严格成立，所有的买方都会持有相同的比特币𝐵𝑡/𝑛，且市场出清的数量𝑞𝑡≤𝑞∗，存在唯一的市场出清价格𝑝𝑡=δ𝑆𝑡𝐸1𝑡𝑝(𝑡+1)(1+𝑓(𝑢′(δ𝐵𝑡/𝑛𝐸1𝑡𝑝(𝑡+1))−1))。

这个引理给出了与货币均衡相似的风险调整后的期望持有收益率。当δ𝐸1𝑡(𝑝(𝑡+1)−𝑝𝑡)/𝑝𝑡≤0时，持有比特币成本过高，买方就会避免这种情况出现，此时对于比特币商品的需求也会降低，导致𝑞𝑡≤𝑞∗。最优条件表明对比特币的需求与系统内的安全性有关。后一项可以称之为流动性溢价。当𝑞𝑡≤𝑞∗则为正，否则为0。

1.4 DME：多样性与福利

定义一个关于消费、生产、储蓄决策的动态货币均衡（DME）{𝐵𝑖𝑡,𝑞𝑑𝑡,𝑞𝑠𝑡,ℎ𝑡,𝑧𝑡,𝑝𝑡}(𝑡=0)τ序列。这些决策者们分别满足：(2)、(4)、(5)。这里没有关注每一个可能出现的均衡，而是关注了平稳DME。

文章假设比特币的名义货币增长率不变为ρ>1。因此对于买方与卖方而言，比特币的价格会随之降低𝐸1𝑡𝑝(𝑡+1)/𝑝𝑡=ρ(−1)。同时对文章的模型做一些简化：令𝐵(𝑡+1)=𝐵𝑡+2ψ𝑡，当ρ(−1)为常数时，ψ𝑡/𝐵𝑡=(ρ−1)/2 。则从(1)可得：

此时，由引理2可以得到实际货币余额小于𝑏∗时，有：

其中𝑞(𝑏(𝑡+1))=δ/ρ𝑏(𝑡+1)/𝑛 。取δ/ρ𝑆(𝑏(𝑡+1),𝐴)𝑏(𝑡+1)1+𝑓(𝑢′(𝑞(𝑏(𝑡+1)))−1)=𝐷存在稳态的解𝑏𝑠s，使得𝑏𝑠s=𝐷(𝑏𝑠)，此时，𝑏𝑠s 要满足

此时的经济含义为，在稳态bss的上，持有比特币的边际收益与边际成本相同。左手边的数值代表流动性溢价与可能遇到交易机会的概率，代表了当资产得到清算时，可以获得的边际福利提升；右手边则衡量了买方持有比特币的成本，可以被理解为风险调整后的名义利率，记为𝑖𝐵(𝑏)≔ρ/𝑆(𝑏,𝐴)δ−1。这种成本与比特币的通货膨胀税正相关，与系统的安全性负相关。

上面的讨论可以确定DME的存在性与唯一性：当𝑏≤𝑏𝑚=𝑝𝑚𝐵时，货币均衡不存在；如果用户数量足够大则一个有正的比特币价格与安全性的均衡会存在，这种均衡并不是唯一的。从图5可以看到，存在两个稳定DME的解分别为𝑏𝐿与𝑏H。而如果对于外源的安全性，则当且仅当𝑢0>1/𝑓(ρ/(δ𝑆̅ )+𝑓−1)时，存在唯一的稳定DME。

命题2：如果n足够大，一定存在一种稳定DME。一般而言，如果稳定DME存在，则一定成对出现，且可以根据价格，安全性，福利水平排序。

1.5 最优货币政策的启示

尽管中本聪在设计比特币的时候，规定了货币供给的总量以及速度。但综合考察比特币的性质后，我们可以设计出不同目标下，如最大化比特币价值、最大化系统安全性、最大化社会福利的货币供给政策。

最大系统安全性的货币增速要大于最大价值的货币增速此时ρ𝑆>ρ𝑉。这是因为比特币买家在意比特币的通胀（与价格负相关）和安全性（与价格正相关），如果对安全性有更多的期盼，则需要扩大货币供给。对于总福利最大而言，若增大ρ𝑊至ρ𝑆以上，将导致交易需求更大的扭曲和更低的安全性，因此社会规划者不会选择ρ𝑆之上水平的货币增速。在ρ𝑉附近时，社会规划者将考虑交易剩余与挖矿成本之间的权衡。如果边际上交易带来的剩余更高，则可以相应扩大货币供给，反之则应该缩小货币供给。

本文从比特币的价格与安全性的内在机制出发，提出了多均衡的理论模型，提供了一种代币高波动、价格呈现暴涨暴跌的解释，同时提出了去中心化系统下，不同目标的最优货币政策。

本文的模型有助于帮助我们更好地理解加密货币市场。现实中加密货币-区块链技术-金融科技发展迅速，还有更多的问题等待学者们不断探索。

*本文来源于 学说平台

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