这里介绍格的概念以及塔尔斯基不动点定理。概括地说，格是具有最大下界和最小上界性质的偏序集。塔尔斯基不动点定理说的是，对于一个从完备格到其自身的递增映射，一定存在一个最大不动点和一个最小不动点。不动点定理在论证经济均衡的存在性时发挥着重要的作用。

定义 设和为两个集合。则和的笛卡尔积为

记为。

注 笛卡尔积的元素是有序对。

定义 设和为两个集合。设。则称为和之间的一个二元关系，或简称为关系。设为一有序对。若，则称“通过关系与联系”，记为。

注 关系是笛卡尔积的子集。

定义 设为一个集合。若为与之间的一个关系，则称是上的一个关系。

例 记实数集为。则上的关系“小于”可以表示为这样一个的子集（假设我们已经清楚地定义了正数和负数的概念）：。我们知道与之间具有“小于”这种关系，这可以记为，或更简洁地，。

定义 设是一个非空集合，是上的一个关系，则称是一个有序集。如果满足
（1）对于任意的, ；
（2）对于任意的,若且，则；
（3）对于任意的，若且，则，
那么称是一个偏序集。

例 实数集结合“小于或等于”关系是一个偏序集。实数集结合“小于”关系不是一个偏序集，因为一个实数不会小于它自身。

定义 设是一个有序集。
若对于任意，都存在一个，使得，则称具有上界性质，称为的一个上界。
若对于任意，都存在一个，使得，则称具有下界性质，称为的一个下界。
若对于任意，都存在一个，使得为的上界，且对于的任意上界，均有，则称具有最小上界性质，称为的一个最小上界或上确界，记为，或。
若对于任意，都存在一个，使得为的下界，且对于的任意下界，均有，则称具有最大下界性质，称为的一个最大下界或下确界，记为，或。

定义（格） 设是一个偏序集。称是一个格，如果它具有最小上界性质和最大下界性质。

例  是一个格。

定义 设是一个格。设为的一个子集。
设。如果对于均有， 则称是集合的下界。
设是集合的一个下界。如果对于集合的任意下界，均有，则称是集合的最大下界或下确界，记为。
设。如果对于均有， 则称l是集合的上界。
设是集合的一个上界。如果对于集合的任意上界，均有，则称是集合的最小上界或上确界，记为。

定义 设是一个格。如果对于任意的且，的上确界和下确界均存在，且，则称格是完备的。

例 是一个格，但不是一个完备的格，因为。

定义 设是一个集合，是一个函数。是中的一个元素。如果，则称是的一个不动点。

例 考虑函数， 。则和都是的不动点。

注 不动点的概念对于经济学来说非常重要，因为求解一个经济的均衡，往往就是在求解一个不动点；证明一个经济均衡的存在性，实际上就是在证明一个不动点的存在性。

定理（塔尔斯基） 设是一个完备的格， 是一个递增映射。则一定有一个最大的不动点 和一个最小的不动点 。

证明 证明可大致分为三步。首先证明集合的上确界存在，然后证明是的不动点，最后证明它是所有不动点当中最大的一个。

1）（存在性） 设是一个完备的格， 是一个递增映射（即对于，有）。记。显然有。由于是完备的，且，不为空集，因此存在。由于，都有,又由于是递增的，因此有，从而由的定义可知，从而不为空集，又由于是完备的，而是的子集，因此存在。

2）（不动点） 由上确界的定义可知对于任意的，都有。对于，均有，又由于是递增的，因此，从而。因此，，即 是的一个上界，从而有。再次运用的递增性质，可知，从而根据的定义有，再根据上确界的定义有。这样，我们就证明了。

3）（最大不动点） 设是的一个不动点，即，从而有，因此，进一步地有。由于不动点的选取是任意的，因此是的最大的不动点。

可按类似于上述三个步骤的步骤证明是的最小不动点。这样，我们就证明了塔尔斯基不动点定理。

例 考虑函数， 。则没有不动点。注意到并不是一个完备的格。

*本文来源于 船长学经济

*侵权必删