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格与塔尔斯基不动点定理

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2022/06/29 00:48发布
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创新研究——格与塔尔斯基不动点定理

这里介绍的概念以及塔尔斯基不动点定理。概括地说,格是具有最大下界和最小上界性质的偏序集。塔尔斯基不动点定理说的是,对于一个从完备格到其自身的递增映射,一定存在一个最大不动点和一个最小不动点。不动点定理在论证经济均衡的存在性时发挥着重要的作用。

定义 设和为两个集合。则和的笛卡尔积

记为。

 笛卡尔积的元素是有序对。

定义 设和为两个集合。设。则称为和之间的一个二元关系,或简称为关系。设为一有序对。若,则称“通过关系与联系”,记为。

 关系是笛卡尔积的子集。

定义 设为一个集合。若为与之间的一个关系,则称是上的一个关系。

 记实数集为。则上的关系“小于”可以表示为这样一个的子集(假设我们已经清楚地定义了正数和负数的概念):。我们知道与之间具有“小于”这种关系,这可以记为,或更简洁地,。

定义 设是一个非空集合,是上的一个关系,则称是一个有序集。如果满足
(1)对于任意的, ;
(2)对于任意的,若且,则;
(3)对于任意的,若且,则,
那么称是一个偏序集

 实数集结合“小于或等于”关系是一个偏序集。实数集结合“小于”关系不是一个偏序集,因为一个实数不会小于它自身。

定义 设是一个有序集。
若对于任意,都存在一个,使得,则称具有上界性质,称为的一个上界
若对于任意,都存在一个,使得,则称具有下界性质,称为的一个下界
若对于任意,都存在一个,使得为的上界,且对于的任意上界,均有,则称具有最小上界性质,称为的一个最小上界上确界,记为,或。
若对于任意,都存在一个,使得为的下界,且对于的任意下界,均有,则称具有最大下界性质,称为的一个最大下界下确界,记为,或。

定义(格) 设是一个偏序集。称是一个,如果它具有最小上界性质和最大下界性质。

  是一个

定义 设是一个格。设为的一个子集。
设。如果对于均有, 则称是集合的下界
设是集合的一个下界。如果对于集合的任意下界,均有,则称是集合的最大下界下确界,记为。
设。如果对于均有, 则称l是集合的上界
设是集合的一个上界。如果对于集合的任意上界,均有,则称是集合的最小上界上确界,记为。

定义 设是一个格。如果对于任意的且,的上确界和下确界均存在,且,则称格是完备的

 是一个格,但不是一个完备的格,因为。

定义 设是一个集合,是一个函数。是中的一个元素。如果,则称是的一个不动点

 考虑函数, 。则和都是的不动点。

 不动点的概念对于经济学来说非常重要,因为求解一个经济的均衡,往往就是在求解一个不动点;证明一个经济均衡的存在性,实际上就是在证明一个不动点的存在性。

定理(塔尔斯基) 设是一个完备的格, 是一个递增映射。则一定有一个最大的不动点 和一个最小的不动点 。

证明 证明可大致分为三步。首先证明集合的上确界存在,然后证明是的不动点,最后证明它是所有不动点当中最大的一个。

1)(存在性) 设是一个完备的格, 是一个递增映射(即对于,有)。记。显然有。由于是完备的,且,不为空集,因此存在。由于,都有,又由于是递增的,因此有,从而由的定义可知,从而不为空集,又由于是完备的,而是的子集,因此存在。

2)(不动点) 由上确界的定义可知对于任意的,都有。对于,均有,又由于是递增的,因此,从而。因此,,即 是的一个上界,从而有。再次运用的递增性质,可知,从而根据的定义有,再根据上确界的定义有。这样,我们就证明了。

3)(最大不动点) 设是的一个不动点,即,从而有,因此,进一步地有。由于不动点的选取是任意的,因此是的最大的不动点。

可按类似于上述三个步骤的步骤证明是的最小不动点。这样,我们就证明了塔尔斯基不动点定理。

 

 考虑函数, 。则没有不动点。注意到并不是一个完备的格。

*本文来源于 船长学经济

*侵权必删

 

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